הסתברות (סטטיסטיקה): מה ההבדל בין התפוצה הבינומינלית, הפויסון והנורמלי?


תשובה 1:

הפצה בינומית היא התפלגות דיסקרטית בעלת שני פרמטרים, כלומר. גודל מדגם (n) והסתברות להצלחה (p).

חלוקת פואסון היא גם התפלגות דיסקרטית עם פרמטר אחד (np), כאשר n גדול מאוד ו- p קטן מאוד. יש לו את התכונה המשונה שהממוצע = שונות = np

התפלגות רגילה היא התפלגות רציפה. יש לו צורה של עקומה בצורת פעמון.


תשובה 2:

בתור התחלה, ההתפלגות הבינומית והפואסון הן התפלגויות דיסקרטיות שנותנות הסתברות שאינן אפס רק עבור מספרים שלמים. ההתפלגות הרגילה היא התפלגות רציפה. כל צפיפות רגילה אינה אפסית לכל המספרים האמיתיים.

התפלגויות בינומיות מועילות למודל אירועים שמתעוררים בניסוי בינומי. הדוגמאות כוללות כמה סלטות מטבעות מציגות ראשים, כמה כרטיסי הגרלה מגרדים הם הזוכים, כמה מטופלי רופא מתים במהלך הניתוח וכמה זריקות חינם אני מבצע במאה ניסיונות. מרכיבי המפתח של ניסוי כזה כוללים:

  • Afixednumberofrepeated,identical,independenttrials.nisusuallytheparameterchosentolabelthenumberoftrials.Everytrialresultsineitherasuccess,withprobability[math]p[/math],orafailure,withprobability[math]1p[/math].Thesemustbetheonlytwopossibleoutcomesforatrial.Therandomvariableofinterestisthetotalnumberoftrialsthatendedinasuccess.A fixed number of repeated, identical, independent trials. n is usually the parameter chosen to label the number of trials.Every trial results in either a success, with probability [math]p[/math], or a failure, with probability [math]1-p[/math]. These must be the only two possible outcomes for a trial.The random variable of interest is the total number of trials that ended in a success.

Theprobabilitymassfunctionforthebinomialdistributionisgivenby:p(x)=(nx)px(1p)nxfor[math]x=0,1,2,,n[/math]The probability mass function for the binomial distribution is given by:p(x) = \binom n x p^x (1-p)^{n-x} for [math]x=0,1,2,\ldots, n[/math]

הפצות של פויסון מועילות למודל של אירועים שנראים כאילו הם מתרחשים שוב ושוב בצורה אקראית לחלוטין. לדוגמא, כמה רעידות אדמה בעוצמה 8+ יתקיימו בשנה מסוימת? לחלופין, כמה תינוקות ייוולדו בבית חולים גדול ביום מסוים? לחלופין, כמה צפיות אתר יקבל ברגע מסוים? הנחות המפתח לדגם פויסון כוללות:

  • Therandomvariablecountsthenumberofeventsthattakeplaceinagiveninterval(usuallyoftimeorspace).Alleventstakeplaceindependentlyofallotherevents.Therateatwhicheventstakeplaceisconstantusuallydenotedλ.The random variable counts the number of events that take place in a given interval (usually of time or space).All events take place independently of all other events.The rate at which events take place is constant usually denoted \lambda.

Theprobabilitymassfunctionforthenumberofeventsthattakeplaceinanytime,t,isgivenby: [math]p(x)=eλt(λt)xx![/math]for[math]x=0,1,2,[/math]The probability mass function for the number of events that take place in anytime, t, is given by: [math]p(x) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^x}{x!}[/math] for [math]x = 0, 1, 2, \ldots[/math]

התפלגויות רגילות משמשות למודל של הרבה יותר מדי סוגים שונים של נכסים כדי להתחיל למנות במדעי הגופני, מדעי החברה, מדעי הביולוגיה, ההנדסה, וכן הלאה. אחת הסיבות לכך שהיא מופיעה לעתים קרובות כל כך היא משפט הגבול המרכזי. בעיקרון, כל המאפיינים שמתעוררים כמצטבר של רבים מתורמים עצמאיים קטנים יותר (או תלויים חלש) יציגו תפוצה נורמלית משוערת כל עוד לא משתלטת קבוצה קטנה של תורמים אלה.

Theprobabilitydensityfunctionforanormaldistributionwithmeanμandstandarddeviation[math]σ[/math]isgivenby:[math]f(x)=1σ2πe(xμ)22σ2[/math]forall[math]xR[/math].The probability density function for a normal distribution with mean \mu and standard deviation [math]\sigma[/math] is given by:[math]f(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}[/math] for all [math]x\in \mathbb R[/math].