מה ההבדל בין לגראנגי למילטוניאן?


תשובה 1:

אני מנחש שלא למדת מכניקה או מכניקה אנליטית ברמה 4 או לתואר שני. שם אתה תאסוף את האלמנטים הרלוונטיים בחישוב הווריאציות כדי להבין זאת.

 

הלגרנגיאן והמילטוניאן מספקים תיאורים אלטרנטיביים, אך שקולים, למערכת פיזית. הם התייחסו לשינוי מתמטי שנקרא "טרנספורמציה אגדתית". בעיקרון, כל בעיה שניתן לנסח באמצעות Lagrangian יכולה להפוך לבעיה שווה ערך באמצעות המילטוניאן, ולהיפך. הבחירה בין שימוש כזה או אחר מסתמכת על אחת מהן נותנת בעיה שקל יותר להתמודד עם מתמטיקה.

 

במחקר המתמטיקה של האופטימיזציה שתי הבעיות ייקראו "דוּלים" זה של זה. למעשה, כל הנושא של לגראנג'ים והמילטוניאנים מתבהר כאשר מוחזקים בבירור מתמטיקה של אופטימיזציה. עם זאת, בדרך בה מוצג לעתים קרובות הפיזיקה, היבט האופטימיזציה של הבעיה הגופנית יכול לבוא וללכת עם סוג של מהירות "אם תמצמצם, תתגעגע לזה".


תשובה 2:

12mx˙2\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2

12kx2\frac{1}{2}kx^2

Lx ddtLx˙=0\frac{\partial L}{\partial x}  - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

LL

xx

x˙\dot{x}

L=12mx˙212kx2L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}kx^2

kxmx¨=0-kx-m\ddot{x}=0

Hx=p˙\frac{\partial H}{\partial x} = -\dot{p}

Hp=x˙\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{x}

HH

xx

pp

p=mx˙p=m\dot{x}

H=p22m+12kx2H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

kx=p˙kx = -\dot{p}

pm=x˙\frac{p}{m}=\dot{x}

H=x˙Lx˙LH = \dot{x} \frac{\partial L}{\dot x}-L


תשובה 3:

מבחינה מסוימת, אין הבדל מהותי בין מכניקה ניוטונית, מכניקה לגראנגית ומכניקה של המילטון. כולם יספקו לכם פתרונות מקבילים להתפתחות הזמן של מערכת. הלגרנגי וההילטוניאן הם טרנספורמציות של אגדה זו מזו. בעיקרון, הלגראנגיאן מאפשר לך לעבוד במרחב תצורה וההמילטוניאן מאפשרים לך לעבוד במרחב פאזה. איזה מהם אתה משתמש בבעיה נתונה באמת מסתכם באיזה נוח יותר או קל יותר לפתור. עבור מערכת עם מרחב תצורה של ממד n, משוואות המילטון הן קבוצה של משוואות דיפרנציאליות 2n, צמודות, מסדר ראשון, בעוד שמשוואות אוילר-לגראנג 'הן קבוצה של n משוואות דיפרנציאליות ללא צימוד, מסדר שני.


תשובה 4:

במכניקת הקוונטים הלא-רלטיבית, מפעיל המילטון מתברר שהוא הדבר שמקדם את מצב המערכת קדימה בזמן. זו הסיבה שיש לך את המשוואה

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

דרך מעט טכנית יותר לנסח זאת היא "המפעיל המילטוניאני הוא מחולל התרגום בזמן."

מצד שני, כשעוברים לתיאוריה של שדה קוונטית, מטרה עיקרית אחת היא להבטיח שהכל תואם את היחסות - או במילים אחרות, הייתם רוצים שהתאוריה תהיה במפורש לורנץ-לא-תקיף. כפי שוודאי שמתם לב, ההמילטוניאן (ואכן כל המושג של משוואת שרדינגר) אינו * באופן מפורש-לורנץ-invariant, פשוט מכיוון שהוא מפריד פסק זמן לקואורדינטות המרחביות כמשהו מיוחד. כמו כן, כפי שאתה זוכר מלגנגיאן מכניקה, המילטוניאן מגיעה מלכתחילה על ידי ביצוע טרנספורמט Legendre ב- Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

מה שמפריד שוב ספציפית בין פסק זמן למשהו מיוחד. ב- QFT אתה לא רוצה את זה. זה מוביל אותנו חזרה למושג הצפיפות לגראנגיאנית, שבקלות * ניתן * לעשות * באופן מפורש לורנץ-invariant. לדוגמה, ה- QFT הפשוט ביותר האפשרי הוא תיאוריה של שדה חופשי סקלרי, והיא בעלת הצפיפות הלגראנגית הבאה:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

מכיוון שהמדדים תואמים כמו שצריך, ברור כי כמות זו אינה משתנה במהלך טרנספורמציה של לורנץ, וכך גם כל הפיזיקה הנגזרת מאותה נקודה היא. זו הסיבה העיקרית שיש להשתמש בצפיפות הלגראנגית במקום הצפיפות המילטונית ב- QFT.

יש לציין כי ניתן * להשתמש * בצפיפות המילטונית ב- QFT רלטיביסטי, אך זה מסובך הרבה יותר בגלל ההפרדה המפורשת של המילטון בין מרחב וזמן, ולכן בדרך כלל הוא מושלך לטובת הצפיפות לגראנגיאנית.

עריכה: תשובתי אוחדה לשאלה אחרת - ההסבר לשאלה המקורית שעניתי עליה ציין באופן ספציפי את השימוש במפעיל המילטוניאן במכניקת קוונטים לא רלטיבית לעומת השימוש בצפיפות הלגראנגית בפיזיקת החלקיקים / תיאוריית שדות הקוונטים.


תשובה 5:

במכניקת הקוונטים הלא-רלטיבית, מפעיל המילטון מתברר שהוא הדבר שמקדם את מצב המערכת קדימה בזמן. זו הסיבה שיש לך את המשוואה

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

דרך מעט טכנית יותר לנסח זאת היא "המפעיל המילטוניאני הוא מחולל התרגום בזמן."

מצד שני, כשעוברים לתיאוריה של שדה קוונטית, מטרה עיקרית אחת היא להבטיח שהכל תואם את היחסות - או במילים אחרות, הייתם רוצים שהתאוריה תהיה במפורש לורנץ-לא-תקיף. כפי שוודאי שמתם לב, ההמילטוניאן (ואכן כל המושג של משוואת שרדינגר) אינו * באופן מפורש-לורנץ-invariant, פשוט מכיוון שהוא מפריד פסק זמן לקואורדינטות המרחביות כמשהו מיוחד. כמו כן, כפי שאתה זוכר מלגנגיאן מכניקה, המילטוניאן מגיעה מלכתחילה על ידי ביצוע טרנספורמט Legendre ב- Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

מה שמפריד שוב ספציפית בין פסק זמן למשהו מיוחד. ב- QFT אתה לא רוצה את זה. זה מוביל אותנו חזרה למושג הצפיפות לגראנגיאנית, שבקלות * ניתן * לעשות * באופן מפורש לורנץ-invariant. לדוגמה, ה- QFT הפשוט ביותר האפשרי הוא תיאוריה של שדה חופשי סקלרי, והיא בעלת הצפיפות הלגראנגית הבאה:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

מכיוון שהמדדים תואמים כמו שצריך, ברור כי כמות זו אינה משתנה במהלך טרנספורמציה של לורנץ, וכך גם כל הפיזיקה הנגזרת מאותה נקודה היא. זו הסיבה העיקרית שיש להשתמש בצפיפות הלגראנגית במקום הצפיפות המילטונית ב- QFT.

יש לציין כי ניתן * להשתמש * בצפיפות המילטונית ב- QFT רלטיביסטי, אך זה מסובך הרבה יותר בגלל ההפרדה המפורשת של המילטון בין מרחב וזמן, ולכן בדרך כלל הוא מושלך לטובת הצפיפות לגראנגיאנית.

עריכה: תשובתי אוחדה לשאלה אחרת - ההסבר לשאלה המקורית שעניתי עליה ציין באופן ספציפי את השימוש במפעיל המילטוניאן במכניקת קוונטים לא רלטיבית לעומת השימוש בצפיפות הלגראנגית בפיזיקת החלקיקים / תיאוריית שדות הקוונטים.


תשובה 6:

במכניקת הקוונטים הלא-רלטיבית, מפעיל המילטון מתברר שהוא הדבר שמקדם את מצב המערכת קדימה בזמן. זו הסיבה שיש לך את המשוואה

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

דרך מעט טכנית יותר לנסח זאת היא "המפעיל המילטוניאני הוא מחולל התרגום בזמן."

מצד שני, כשעוברים לתיאוריה של שדה קוונטית, מטרה עיקרית אחת היא להבטיח שהכל תואם את היחסות - או במילים אחרות, הייתם רוצים שהתאוריה תהיה במפורש לורנץ-לא-תקיף. כפי שוודאי שמתם לב, ההמילטוניאן (ואכן כל המושג של משוואת שרדינגר) אינו * באופן מפורש-לורנץ-invariant, פשוט מכיוון שהוא מפריד פסק זמן לקואורדינטות המרחביות כמשהו מיוחד. כמו כן, כפי שאתה זוכר מלגנגיאן מכניקה, המילטוניאן מגיעה מלכתחילה על ידי ביצוע טרנספורמט Legendre ב- Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

מה שמפריד שוב ספציפית בין פסק זמן למשהו מיוחד. ב- QFT אתה לא רוצה את זה. זה מוביל אותנו חזרה למושג הצפיפות לגראנגיאנית, שבקלות * ניתן * לעשות * באופן מפורש לורנץ-invariant. לדוגמה, ה- QFT הפשוט ביותר האפשרי הוא תיאוריה של שדה חופשי סקלרי, והיא בעלת הצפיפות הלגראנגית הבאה:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

מכיוון שהמדדים תואמים כמו שצריך, ברור כי כמות זו אינה משתנה במהלך טרנספורמציה של לורנץ, וכך גם כל הפיזיקה הנגזרת מאותה נקודה היא. זו הסיבה העיקרית שיש להשתמש בצפיפות הלגראנגית במקום הצפיפות המילטונית ב- QFT.

יש לציין כי ניתן * להשתמש * בצפיפות המילטונית ב- QFT רלטיביסטי, אך זה מסובך הרבה יותר בגלל ההפרדה המפורשת של המילטון בין מרחב וזמן, ולכן בדרך כלל הוא מושלך לטובת הצפיפות לגראנגיאנית.

עריכה: תשובתי אוחדה לשאלה אחרת - ההסבר לשאלה המקורית שעניתי עליה ציין באופן ספציפי את השימוש במפעיל המילטוניאן במכניקת קוונטים לא רלטיבית לעומת השימוש בצפיפות הלגראנגית בפיזיקת החלקיקים / תיאוריית שדות הקוונטים.


תשובה 7:

במכניקת הקוונטים הלא-רלטיבית, מפעיל המילטון מתברר שהוא הדבר שמקדם את מצב המערכת קדימה בזמן. זו הסיבה שיש לך את המשוואה

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

דרך מעט טכנית יותר לנסח זאת היא "המפעיל המילטוניאני הוא מחולל התרגום בזמן."

מצד שני, כשעוברים לתיאוריה של שדה קוונטית, מטרה עיקרית אחת היא להבטיח שהכל תואם את היחסות - או במילים אחרות, הייתם רוצים שהתאוריה תהיה במפורש לורנץ-לא-תקיף. כפי שוודאי שמתם לב, ההמילטוניאן (ואכן כל המושג של משוואת שרדינגר) אינו * באופן מפורש-לורנץ-invariant, פשוט מכיוון שהוא מפריד פסק זמן לקואורדינטות המרחביות כמשהו מיוחד. כמו כן, כפי שאתה זוכר מלגנגיאן מכניקה, המילטוניאן מגיעה מלכתחילה על ידי ביצוע טרנספורמט Legendre ב- Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

מה שמפריד שוב ספציפית בין פסק זמן למשהו מיוחד. ב- QFT אתה לא רוצה את זה. זה מוביל אותנו חזרה למושג הצפיפות לגראנגיאנית, שבקלות * ניתן * לעשות * באופן מפורש לורנץ-invariant. לדוגמה, ה- QFT הפשוט ביותר האפשרי הוא תיאוריה של שדה חופשי סקלרי, והיא בעלת הצפיפות הלגראנגית הבאה:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

מכיוון שהמדדים תואמים כמו שצריך, ברור כי כמות זו אינה משתנה במהלך טרנספורמציה של לורנץ, וכך גם כל הפיזיקה הנגזרת מאותה נקודה היא. זו הסיבה העיקרית שיש להשתמש בצפיפות הלגראנגית במקום הצפיפות המילטונית ב- QFT.

יש לציין כי ניתן * להשתמש * בצפיפות המילטונית ב- QFT רלטיביסטי, אך זה מסובך הרבה יותר בגלל ההפרדה המפורשת של המילטון בין מרחב וזמן, ולכן בדרך כלל הוא מושלך לטובת הצפיפות לגראנגיאנית.

עריכה: תשובתי אוחדה לשאלה אחרת - ההסבר לשאלה המקורית שעניתי עליה ציין באופן ספציפי את השימוש במפעיל המילטוניאן במכניקת קוונטים לא רלטיבית לעומת השימוש בצפיפות הלגראנגית בפיזיקת החלקיקים / תיאוריית שדות הקוונטים.


תשובה 8:

במכניקת הקוונטים הלא-רלטיבית, מפעיל המילטון מתברר שהוא הדבר שמקדם את מצב המערכת קדימה בזמן. זו הסיבה שיש לך את המשוואה

YouintegratetheLagrangianwithrespecttotimetogetaquantitycalledtheaction,andtheactiondeterminesthedynamicsofthesystembyHamiltonsprinciple(yes,Iknowthenameisconfusing).Thisprinciplestatesthatthesystemevolvesinsuchawaysothattheactionisstationarywithrespecttoperturbationsthatleavetheboundaryconditions(i.e.,initialandfinalstate)constant.Forexample,ifaparticletravelsfrompointAtopointBovertheintervaloftime[t1,t2],theactionofthepathittakesmustbestationarywithinthespaceofallpathsfromAtoBwhichstartattime[math]t1[/math]andendattime[math]t2[/math].ThesolutiontothisvariationalproblemisgivenbytheEulerLagrangeequations.You integrate the Lagrangian with respect to time to get a quantity called the action, and the action determines the dynamics of the system by Hamilton's principle (yes, I know the name is confusing). This principle states that the system evolves in such a way so that the action is stationary with respect to perturbations that leave the boundary conditions (i.e., initial and final state) constant. For example, if a particle travels from point A to point B over the interval of time [t_1, t_2], the action of the path it takes must be stationary within the space of all paths from A to B which start at time [math]t_1[/math] and end at time [math]t_2[/math]. The solution to this variational problem is given by the Euler--Lagrange equations.

AsfortheHamiltonian,onceyouwritedowntheHamiltonian,youcanmuchmoredirectlywritedownthetimeevolutionofthesystem,inthesensethatifthesystemisdescribedbythevariables(q1,,qN,p1,,pN),youcanimmediatelycompute[math]q˙1,,q˙N,p˙1,,p˙N[/math]soyoucanpredictwhatstatethesystemwillevolveintoafteraninfinitesimalintervaloftimeelapses.(Inclassicalmechanics,togetthesetimederivatives,youactuallyhavetocomputederivativesoftheHamiltonian,butinquantummechanics,itisevensimpler,andtheHamiltonianisjustanoperatorwhichactsonthestatetoimmediatelygivethetimederivativeofthestate,uptoaconstantfactor.)ButbecausetheHamiltonianisdesignedtoletyouevolvethesysteminaparticulartimedirection,itisnotmanifestlyLorentzinvariantthewaytheLagrangianis.As for the Hamiltonian, once you write down the Hamiltonian, you can much more directly write down the time evolution of the system, in the sense that if the system is described by the variables (q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N), you can immediately compute [math]\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_N, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_N[/math] so you can predict what state the system will evolve into after an infinitesimal interval of time elapses. (In classical mechanics, to get these time derivatives, you actually have to compute derivatives of the Hamiltonian, but in quantum mechanics, it is even simpler, and the Hamiltonian is just an operator which acts on the state to immediately give the time derivative of the state, up to a constant factor.) But because the Hamiltonian is designed to let you evolve the system in a particular time direction, it is not manifestly Lorentz-invariant the way the Lagrangian is.

מצד שני, כשעוברים לתיאוריה של שדה קוונטית, מטרה עיקרית אחת היא להבטיח שהכל תואם את היחסות - או במילים אחרות, הייתם רוצים שהתאוריה תהיה במפורש לורנץ-לא-תקיף. כפי שוודאי שמתם לב, ההמילטוניאן (ואכן כל המושג של משוואת שרדינגר) אינו * באופן מפורש-לורנץ-invariant, פשוט מכיוון שהוא מפריד פסק זמן לקואורדינטות המרחביות כמשהו מיוחד. כמו כן, כפי שאתה זוכר מלגנגיאן מכניקה, המילטוניאן מגיעה מלכתחילה על ידי ביצוע טרנספורמט Legendre ב- Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

מה שמפריד שוב ספציפית בין פסק זמן למשהו מיוחד. ב- QFT אתה לא רוצה את זה. זה מוביל אותנו חזרה למושג הצפיפות לגראנגיאנית, שבקלות * ניתן * לעשות * באופן מפורש לורנץ-invariant. לדוגמה, ה- QFT הפשוט ביותר האפשרי הוא תיאוריה של שדה חופשי סקלרי, והיא בעלת הצפיפות הלגראנגית הבאה:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

מכיוון שהמדדים תואמים כמו שצריך, ברור כי כמות זו אינה משתנה במהלך טרנספורמציה של לורנץ, וכך גם כל הפיזיקה הנגזרת מאותה נקודה היא. זו הסיבה העיקרית שיש להשתמש בצפיפות הלגראנגית במקום הצפיפות המילטונית ב- QFT.

יש לציין כי ניתן * להשתמש * בצפיפות המילטונית ב- QFT רלטיביסטי, אך זה מסובך הרבה יותר בגלל ההפרדה המפורשת של המילטון בין מרחב וזמן, ולכן בדרך כלל הוא מושלך לטובת הצפיפות לגראנגיאנית.

עריכה: תשובתי אוחדה לשאלה אחרת - ההסבר לשאלה המקורית שעניתי עליה ציין באופן ספציפי את השימוש במפעיל המילטוניאן במכניקת קוונטים לא רלטיבית לעומת השימוש בצפיפות הלגראנגית בפיזיקת החלקיקים / תיאוריית שדות הקוונטים.


תשובה 9:

במכניקת הקוונטים הלא-רלטיבית, מפעיל המילטון מתברר שהוא הדבר שמקדם את מצב המערכת קדימה בזמן. זו הסיבה שיש לך את המשוואה

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

דרך מעט טכנית יותר לנסח זאת היא "המפעיל המילטוניאני הוא מחולל התרגום בזמן."

מצד שני, כשעוברים לתיאוריה של שדה קוונטית, מטרה עיקרית אחת היא להבטיח שהכל תואם את היחסות - או במילים אחרות, הייתם רוצים שהתאוריה תהיה במפורש לורנץ-לא-תקיף. כפי שוודאי שמתם לב, ההמילטוניאן (ואכן כל המושג של משוואת שרדינגר) אינו * באופן מפורש-לורנץ-invariant, פשוט מכיוון שהוא מפריד פסק זמן לקואורדינטות המרחביות כמשהו מיוחד. כמו כן, כפי שאתה זוכר מלגנגיאן מכניקה, המילטוניאן מגיעה מלכתחילה על ידי ביצוע טרנספורמט Legendre ב- Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

מה שמפריד שוב ספציפית בין פסק זמן למשהו מיוחד. ב- QFT אתה לא רוצה את זה. זה מוביל אותנו חזרה למושג הצפיפות לגראנגיאנית, שבקלות * ניתן * לעשות * באופן מפורש לורנץ-invariant. לדוגמה, ה- QFT הפשוט ביותר האפשרי הוא תיאוריה של שדה חופשי סקלרי, והיא בעלת הצפיפות הלגראנגית הבאה:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

מכיוון שהמדדים תואמים כמו שצריך, ברור כי כמות זו אינה משתנה במהלך טרנספורמציה של לורנץ, וכך גם כל הפיזיקה הנגזרת מאותה נקודה היא. זו הסיבה העיקרית שיש להשתמש בצפיפות הלגראנגית במקום הצפיפות המילטונית ב- QFT.

יש לציין כי ניתן * להשתמש * בצפיפות המילטונית ב- QFT רלטיביסטי, אך זה מסובך הרבה יותר בגלל ההפרדה המפורשת של המילטון בין מרחב וזמן, ולכן בדרך כלל הוא מושלך לטובת הצפיפות לגראנגיאנית.

עריכה: תשובתי אוחדה לשאלה אחרת - ההסבר לשאלה המקורית שעניתי עליה ציין באופן ספציפי את השימוש במפעיל המילטוניאן במכניקת קוונטים לא רלטיבית לעומת השימוש בצפיפות הלגראנגית בפיזיקת החלקיקים / תיאוריית שדות הקוונטים.