מה ההבדל בין אלגברה בוליטית להיגיון ותורת הקבוצות?


תשובה 1:

ההיגיון הוא ניסוח של כללים להסקה. החלק החשוב ביותר בהיגיון הוא היכולת לקחת מידע, ולהסיק ממנו מידע אחר. דוגמה טובה לכך היא שתי ההצהרות, "כשיורד גשם, האדמה נהיה רטובה יותר" ו"גשם לרדת עכשיו "פירושו שאתה יכול להסיק שהאדמה הולכת ונרטבת ברגע זה.

ישנן צורות לוגיות שונות, וההגיון הבוליאני ותורת הקבוצות הן שתי דוגמאות.

היגיון בוליאני הוא יישום של היגיון קלאסי, בהנחה שישנם שני ערכים. זה מציג את מושג האמת כמשהו גדול יחסית לשקר. במילים אחרות, אם "נכון" הוא T, ו"שקר "הוא F, אז

TFT \geq F

. לאחר מכן, אנו יכולים לנתח את ההצהרות מלפני:

  • p=It’s raining right nowp = \textsf{It's raining right now}
  • q=The ground is getting wetterq = \textsf{The ground is getting wetter}
  • pq=When it rains, the ground gets wetterp \to q = \textsf{When it rains, the ground gets wetter}

ההצהרה האחרונה:

pqp \to q

שווה לטענה

pqp \geq q

, או בהתייחסות, ש q נכון לפחות כמו p.

כאשר מורכבים, בידיעה ששניהם

pqp \to q

ו

pp

אז אנו יודעים

qq

.

אנו מציגים מושגים כמו:

  • pqp \wedge q
  • משמעות "p ו q"
  • pqp \vee q
  • משמעות "p או q"
  • ¬p\neg p
  • משמעות "לא p"

תורת הסטים נוקטת גישה שונה לאמת. זה מעוניין בחברות. או שמשהו חבר בערכה, או שהוא לא.

בעניין זה קבענו הכללה, כלומר

ABA \subseteq B

פירושו שכל רכיב של A כלול ב- B (אך לא בהכרח הפוך). הצהיר כיוון הפוך:

ABA \supseteq B

פירושו שכל רכיב ב- B כלול ב- A (אך לא בהכרח הפוך).

זה משרת את תפקיד ההשלכה בהיגיון זה. אם אני יודע זאת

A\superseteqBA \superseteq B

ושכל האלמנטים שלי הם

AA

, אז כל האלמנטים שלי הם גם

BB

.

אנו מציינים כי אלמנט הוא חבר בערכה על ידי אמירתו

aAa \in A

פירושו ש- "a הוא חבר בערכה של A".

דוגמה לכך היא כל בני האדם

AA

הם גם בני תמותה

BB

. ואז, אם סוקרטס הוא בן אנוש (

sAs\in A

), ואז הוא גם בן תמותה (

sB).s\in B).

בדומה, יש לנו מושגים כמו:

  • ABA \cup B
  • כלומר הסט של כל האלמנטים שנמצאים בשני A וגם B (צומת)
  • ABA \cap B
  • כלומר הסט של כל האלמנטים שנמצאים ב- A או B או שניהם (איחוד)
  • Aˉ\bar{A}
  • כלומר הסט של כל האלמנטים שאינם ב- A (השלמה)

האלגברה הבוליאנית נקראת טכנית סריג חלוקתי משלים, שהוא דיבורים מפוארים לכל דבר שיש בו:

  • min(A,B)\min(A, B)
  • הערך הכי פחות (מבחינה טכנית) בין A ל- B. זהו "AND" בלוגיקה הבוליאנית, והצומת בתורת הקבוצות.
  • max(A,B)\max(A, B)
  • ערך עליון (טכנית עליונה) בין A ל B. זה "OR" בלוגיקה הבוליאנית, ואיחוד בתורת הקבוצות. רעיון הפוך. זה "לא" בלוגיקה הבוליאנית, ומשלים בתורת הקבוצות.

כמובן שאלגברה זו מחייבת שהפעולות יקבלו מאפיינים מסוימים שנקראים אלגברה בוליאית.

בהקשר זה, המילה אלגברה מתארת ​​משהו שיש לו תכונות דומות לתוספת והן לכפולות. אלגברה בוליאנית לוקחת את זה וממשיכה עם זה.

אלגברות בוליאיות גם הן מסייעות לאלגברות אם אנו יודעים זאת

¬¬a=a\neg \neg a = a

, מכיוון שיש להם מושג של אקספוננציאל שמוגדר במקרה לפי הכפל. בלוגיקה הבוליאנית, זו ההשלכה. בתורת הקבוצות, זוהי העל (הלא מחמירה).

זה אומר שיש לנו את החוק הבא:

a(bc)=(ab)ca \to (b \to c) = (a \wedge b)\to c

הדומה לחיזוק:

(cb)a=c(b×a)(c^b)^a=c^{(b\times a)}


תשובה 2:

אלגברה בוליאנית היא קיבוץ של כללים לגבי דברים שיכולים להיות אמיתיים או שקריים (נקראים על שם הבחור שמסמל את זה).

ההיגיון עוסק בעיקר בהנמקה. כתחום משלו הוא נימוק על מה ניתן להסיק וכיצד. יש הרבה ענפים ממנו בנקודה זו.

תיאוריית הסטים כאשר מנוסחים ככה (בניגוד ל"תיאוריית ערכה ", שיכולה להיות משמעות הרבה דברים) מובנת בדרך כלל כמשמעותה של תיאוריית ערכות זרמלו – פרנקל, יחד עם אולי אקסיומות נוספות. זו דרך לחשוב על אוספים לא מסודרים (נקראים סטים) באמצעות מספר קטן של אקסיומות, והרחבתה כך שתכלול דברים כמו סוגים שונים של מספרים שמבוססים על אותם אקסיומות.